征集答案：一道看似简单的数学题

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征集答案：一道看似简单的数学题

原文链接：https://forum.iask.ca/threads/647273/

QIFENG0824 : 2013-05-26#1

两个信封，内各有一张纸，各写着一个正整数，只知道一个信封内的数字是另一个信封内的数字的一倍。你随手拿了一个信封打开，发现数字是100（代表你能得到100元），这时给你一个机会放弃这100元选择另一个信封里的金额，你会怎么做？

The pacific : 2013-05-26#2

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相当于用50元赌多拿100元，50%的机会，拼了，赌一把。

QIFENG0824 : 2013-05-26#3

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The pacific 说:
相当于用50元赌多拿100元，50%的机会，拼了，赌一把。

那我在赌一把之前，是否并无必要知道手上的信封里是100元啊？管它是几元，都是赌一把合算吧？

sabre : 2013-05-26#4

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换, (200+50)/2 = 125,
不换, 100 = 100,

我猜, 这个问题更是心理问题,

QIFENG0824 : 2013-05-26#5

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sabre 说:
换, (200+50)/2 = 125,
不换, 100 = 100,

我猜, 这个问题更是心理问题,

不讨论心理因素，是个数学问题，125比100好（尽管会冒着少拿50的风险），所以你也不能说100是我的幸运数，我就是喜欢100 :wdb6:

bestsideofvan : 2013-05-26#6

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换信封是个行为,这个行为的期望收益是125-100=25元,期望收益率是25%,这是换一次的结果,那么N次以后,这个收益率会很快收缩,所以,换信封不会持续下去,那么这个题目就转换成:你愿意接受一个期望收益率25%的投资吗?可以这样理解吗?

QIFENG0824 : 2013-05-26#7

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假设这个游戏就玩一次
问题是：如果我第一个信封拿到后，都不用打开看直接换就可以了，那我何必换呢，直接拿第二个不就行了？可拿了第二个又有这个问题了，我是不是又要换回成第一个呢？

漫步云中@桥 : 2013-05-26#8

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拿到100就是100，实在的

bestsideofvan : 2013-05-26#9

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QIFENG0824 说:
假设这个游戏就玩一次
问题是：如果我第一个信封拿到后，都不用打开看直接换就可以了，那我何必换呢，直接拿第二个不就行了？可拿了第二个又有这个问题了，我是不是又要换回成第一个呢？

一直认为,要学好概率论,非天才不可,至少也要疑似天才吧,所以,这次,俺还是依旧躲一躲吧.

hyclone : 2013-05-26#10

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没有区别，都是50%的机率。
在你不知道各有多少钱的情况下，打不打开第一个信封不影响第二个信封的几率，因为没有任何东西改变。
用文字表述这其实就是：“犹豫不决”。

QIFENG0824 : 2013-05-26#11

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hyclone 说:
没有区别，都是50%的机率。
在你不知道各有多少钱的情况下，打不打开第一个信封不影响第二个信封的几率，因为没有任何东西改变。
用文字表述这其实就是：“犹豫不决”。

回到原题，你认为第二个信封中200元和50元的概率是否均为50%？
或者说，第二个信封中2A元和A/2元的概率是否均为50%？(A为第一个信封中的钱数）
从这个角度看，不管手上拿到的钱是多少，都是换合算呀

sabre : 2013-05-26#12

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QIFENG0824 说:
假设这个游戏就玩一次
问题是：如果我第一个信封拿到后，都不用打开看直接换就可以了，那我何必换呢，直接拿第二个不就行了？可拿了第二个又有这个问题了，我是不是又要换回成第一个呢？

看来, 还是不换,

sabre : 2013-05-26#13

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QIFENG0824 说:
回到原题，你认为第二个信封中200元和50元的概率是否均为50%？

这么说不是,

QIFENG0824 : 2013-05-26#14

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sabre 说:
这么说不是,

为什么呢？

hyclone : 2013-05-26#15

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a simple simulation can show some interesting thing:

- 用“大”和“小”表示，做10000次实验，重复10次：

换的概率都接近50%：
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
bit 0.4959 0.4932 0.4954 0.5011 0.5084 0.5037 0.5018 0.5041 0.5026 0.4978
ton 0.5041 0.5068 0.5046 0.4989 0.4916 0.4963 0.4982 0.4959 0.4974 0.5022

不换的概率也是这样：
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
bit 0.5041 0.5068 0.5046 0.4989 0.4916 0.4963 0.4982 0.4959 0.4974 0.5022
ton 0.4959 0.4932 0.4954 0.5011 0.5084 0.5037 0.5018 0.5041 0.5026 0.4978

中国好声音 : 2013-05-26#16

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换，无论现在这个信封是多少，都选择下一个。

hyclone : 2013-05-26#17

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即使把题目改成三个信封也是一样：

换：
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
bit 0.366 0.354 0.310 0.343 0.334 0.337 0.342 0.363 0.324 0.339
mid 0.302 0.313 0.356 0.326 0.326 0.352 0.340 0.318 0.342 0.322
ton 0.332 0.333 0.334 0.331 0.340 0.311 0.318 0.319 0.334 0.339

不换：
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
bit 0.322 0.323 0.346 0.323 0.347 0.318 0.337 0.327 0.323 0.352
mid 0.351 0.316 0.338 0.347 0.331 0.328 0.345 0.333 0.336 0.341
ton 0.327 0.361 0.316 0.330 0.322 0.354 0.318 0.340 0.341 0.307

sabre : 2013-05-26#18

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QIFENG0824 说:
为什么呢？

我回答不出来,
但是因为你问了这个问题, 我只能回到原始状态考虑,
一开始, 拿大拿小的机会是50%, 50%,
越换越大肯定是不可能的, 所以, 200 和 50 不是平等的,

hyclone : 2013-05-26#19

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这道题目与昨天我们讨论的三个门与一辆车的题目完全不同。
那道题中各种条件随时间改变，概率也随之发生复杂变化。

用电脑模拟一下可以证实我们的结论：

换：
A B C
0.1628 0.1691 0.6681

不换：
A B C
0.3317 0.3364 0.3319

（抱歉，今天的电脑不支持表格环境）
- 有兴趣的童鞋可以验证一下，我用的 seed=123，10000次实验，没有重复。

mogusaen : 2013-05-26#20

回复: 征集答案：一道看似简单的数学题

好像是个挺著名的难题，Wiki上说至今没有被广泛认可的答案。

Two envelopes problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

hyclone : 2013-05-26#21

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QIFENG0824 说:
回到原题，你认为第二个信封中200元和50元的概率是否均为50%？
或者说，第二个信封中2A元和A/2元的概率是否均为50%？(A为第一个信封中的钱数）
从这个角度看，不管手上拿到的钱是多少，都是换合算呀

你说换“合算”可能是因为就像网页上计算的那样，第二个信封的期望值更高：

(1/2)(A*2) + (1/2)(A/2) = A*(5/4)

但这是个伪概率命题，因为第二个信封的价值不是随机的，而是早就固定好了的：是个二选一问题，要么50，要么200，它不随头次事件而改变。

这就是一个简单的二元概率问题，两个独立事件，相互排斥，且每个事件的背景概率分布都是相同、对称的（P=0.5）；不选甲就选乙，几率各为50%；与它们的先后顺序或实验者是否改变主意完全无关。

任何试图计算信封内价值的期望值的尝试都是徒劳无益的，因为不符合原题题意，所以是伪命题。

钢琴超市 : 2013-05-26#22

回复: 征集答案：一道看似简单的数学题

我不换，先落袋为安

hyclone : 2013-05-26#23

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钢琴超市说:
我不换，先落袋为安

恭喜你，这是最明智、最有效率的选择

如果换总是能带来更好的结果的话，想想看那我们就无法生活了；比如，不是有人说过，找对象是一个不如一个吗？
如果一个更比一个好，那我们岂不是要天天换？

QIFENG0824 : 2013-05-26#24

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hyclone同学，这道题的精髓在哪里？谁都知道真实的结果是没必要换，可这道题吸引人的地方在于需要找出这套无懈可击的逻辑里的漏洞，这是关键，而不是告诉别人换和不换那个对。

QIFENG0824 : 2013-05-26#25

回复: 征集答案：一道看似简单的数学题

我就问些非常明确且简单的问题，请你给出直接且正面的回答。
我打开了第一个信封，内为100元，此时，另一个信封中是否有且仅有两种可能，50或200？

QIFENG0824 : 2013-05-26#26

回复: 征集答案：一道看似简单的数学题

如果第一个问题的答案是肯定的，那么请问，这两者出现的概率各为多少？（由于不可能有第三个结果的出现，所以两个概率之和为1）

sabre : 2013-05-26#27

回复: 征集答案：一道看似简单的数学题

跟另外一个问题比较一下,
拿到一百, 现在扔鏰, 头200, 尾50,
这两个问题的差别是什么? 我想不出来.

假如花一百块钱扔鏰的话, 好像没有125的收益,
结果还是一百,

hyclone : 2013-05-26#28

回复: 征集答案：一道看似简单的数学题

QIFENG0824 说:
我就问些非常明确且简单的问题，请你给出直接且正面的回答。
我打开了第一个信封，内为100元，此时，另一个信封中是否有且仅有两种可能，50或200？

QIFENG0824 说:
如果第一个问题的答案是肯定的，那么请问，这两者出现的概率各为多少？（两个概率之和为1）

前提是你不知道任何一个信封里钱的数目，
如果你打开其中一个，觉得不够满意，盼望下一个里面会有更多，但也可能会更少。这个时候，换，拿到得更多还是更少都各有50%的几率。

所以还是别麻烦了，珍惜拥有的，不要太贪婪。

如果硬要赌一把，也好，成本是50块：赢了再多拿150，输了还有50块在口袋里面带回家。就像到Niagara Falls去赌一把，但不是把老本都押上，留一半给自己，试试运气。

sabre : 2013-05-26#29

回复: 征集答案：一道看似简单的数学题

QIFENG0824 说:
如果第一个问题的答案是肯定的，那么请问，这两者出现的概率各为多少？（由于不可能有第三个结果的出现，所以两个概率之和为1）

50%,
但是, 收益率不是125,
因为, 假如是50, 接着换的话, 25 和 100,

hyclone : 2013-05-26#30

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sabre 说:
跟另外一个问题比较一下,
拿到一百, 现在扔鏰, 头200, 尾50,
这两个问题的差别是什么? 我想不出来.

假如花一百块钱扔鏰的话, 好像没有125的收益,
结果还是一百,

这就是一个仍鏰的问题，但简单得多，只扔一次，头200, 尾50，各有50%的可能。（那一百快本钱不是扔出来的，本来就是你的）

QIFENG0824 : 2013-05-26#31

回复: 征集答案：一道看似简单的数学题

sabre 说:
跟另外一个问题比较一下,
拿到一百, 现在扔鏰, 头200, 尾50,
这两个问题的差别是什么? 我想不出来.

假如花一百块钱扔鏰的话, 好像没有125的收益,
结果还是一百,

你这个表述应该是这样：我和你玩这个游戏，你扔出头，我给你200，你扔出尾，我给你50，但不管怎样，你这个100的钢镚是花掉了拿不回的

QIFENG0824 : 2013-05-26#32

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hyclone 说:
前提是你不知道任何一个信封里钱的数目，
如果你打开其中一个，觉得不够满意，盼望下一个里面会有更多，但也可能会更少。这个时候，换，拿到得更多还是更少都各有50%的几率。

所以还是别麻烦了，珍惜拥有的，不要太贪婪。

如果硬要赌一把，也好，成本是50块：赢了再多拿150，输了还有50块在口袋里面带回家。就像到Niagara Falls去赌一把，但不是把老本都押上，留一半给自己，试试运气。

我跟你谈数学你跟我谈人生 :wdb26:

OK, 我跟你玩扔硬币，正面反面概率都是50%，正面算你赢我给你1000块，反面算我赢你给我10块，那么" 这个时候，玩，拿到得更多还是更少都各有50%的几率。所以还是别麻烦了，珍惜拥有的，不要太贪婪。"？

hyclone : 2013-05-26#33

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QIFENG0824 说:
你这个表述应该是这样：我和你玩这个游戏，你扔出头，我给你200，你扔出尾，我给你50，但不管怎样，你这个100的钢镚是花掉了拿不回的

那一百块买门票。

sabre : 2013-05-26#34

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hyclone 说:
这就是一个仍鏰的问题，但简单得多，只扔一次，头200, 尾50，各有50%的可能。

但是, 扔崩的话, 或者减半, 或者加倍,
减半十次, 加倍十次, 回到原始状态,
为什么最开始会有一个125的幻觉?

hyclone : 2013-05-26#35

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QIFENG0824 说:
我跟你谈数学你跟我谈人生

离开true life的数学没有意义。数学是抽象的人生。

hyclone : 2013-05-26#36

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sabre 说:
但是, 扔崩的话, 或者减半, 或者加倍,
减半十次, 加倍十次, 回到原始状态,
为什么最开始会有一个125的幻觉?

125 是你希望那个信封里的钱会变化（在50到200之间是随机的），但其实它是死的，不像昨天的问题，随条件和时间而改变。

sabre : 2013-05-26#37

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QIFENG0824 说:
你这个表述应该是这样：我和你玩这个游戏，你扔出头，我给你200，你扔出尾，我给你50，但不管怎样，你这个100的钢镚是花掉了拿不回的

我有点思路了,
这个玩法, 不是每次100, 假如我输了第一次,
第二次是用50赌25, 100,
然后, 用25赌12.5, 50,

这个步调决定了没有25%的收益,

sabre : 2013-05-26#38

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hyclone 说:
125 是你希望那个信封里的钱会变化（在50到200之间是随机的），但其实它是死的，不像昨天的问题，随条件和时间而改变。

好像更是节奏的问题,

hyclone : 2013-05-26#39

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sabre 说:
好像更是节奏的问题,

其实就是“买大”和“买小”的问题。用一百块来买。

QIFENG0824 : 2013-05-26#40

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sabre 说:
我有点思路了,
这个玩法, 不是每次100, 假如我输了第一次,
第二次是用50赌25, 100,
然后, 用25赌12.5, 50,

这个步调决定了没有25%的收益,

不管你用多少去赌，每一次都是25%

hyclone : 2013-05-26#41

回复: 征集答案：一道看似简单的数学题

其实就是“买大”和“买小”的问题。用一百块来买。
不要考虑加倍、减半，还是25% - 跟这个题目没有关系。

题目说“两倍”是误导，其实说“一个多，一个少”也是一样的。

混出名堂 : 2013-05-26#42

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在赌场没人琢磨这么久

Mirage2000 : 2013-05-26#43

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如果我一分钱没有、家里正等米下锅，我会拿了这100就走；

如果我酒足饭饱、家有余粮，我会扔掉这100，拆另一个信封。

happyvanw : 2013-05-26#44

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拼了，期望值125啊

happyvanw : 2013-05-26#45

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Mirage2000 说:
如果我一分钱没有、家里正等米下锅，我会拿了这100就走；

如果我酒足饭饱、家有余粮，我会扔掉这100，拆另一个信封。

错，等钱用才拼了，另外一个是125。不等钱用就不拼，反正25太少。

happyvanw : 2013-05-26#46

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mogusaen 说:
好像是个挺著名的难题，Wiki上说至今没有被广泛认可的答案。

Two envelopes problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

那个wiki是不告诉你第一封信多少钱

Mirage2000 : 2013-05-27#47

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happyvanw 说:
错，等钱用才拼了，另外一个是125。不等钱用就不拼，反正25太少。

呵呵，还是你聪明！

我明白我为什么发不了财了——脑子不够用。 :wdb5:

bestsideofvan : 2013-05-27#48

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sabre 说:
但是, 扔崩的话, 或者减半, 或者加倍,
减半十次, 加倍十次, 回到原始状态,
为什么最开始会有一个125的幻觉?

125不是幻觉,是第二个信封里装的钱的数量的"期望值",但这个期望值的前提是,另外一个信封里是50或200的概率都为50%. 按LZ的意思，难道不是50%？

QIFENG0824 : 2013-05-27#49

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再出一道题跟这个信封问题对照思考：
赌钱必赢大法
赌大小，第一次压100，输了压200，再输压400，再输压800，1600，3200~~~~~，就不信赢不了你！各位认为如何？

happyvanw : 2013-05-27#50

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sabre 说:
我回答不出来,
但是因为你问了这个问题, 我只能回到原始状态考虑,
一开始, 拿大拿小的机会是50%, 50%,
越换越大肯定是不可能的, 所以, 200 和 50 不是平等的,

很簡單的，賭場原理，莊家優勢，百家和21點莊家優勢超小，笨人才會去玩老虎機，莊家優勢過大。

你玩遊戲必須假設莊家和你都不知道底牌，否則玩雞雞啊。

玩20次期望值為86.7x，不是x。哦，賭場有每局上限的。不過挺大的，可以下1000萬一局。

happyvanw : 2013-05-27#51

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QIFENG0824 说:
再出一道题跟这个信封问题对照思考：
赌钱必赢大法
赌大小，第一次压100，输了压200，再输压400，再输压800，1600，3200~~~~~，就不信赢不了你！各位认为如何？

問題錯誤，電影賭俠告訴你，圍骰通吃。
莊家優勢過大，小朋友才去玩。

還有，假設你拿5百萬去賭大小，假設你第一局就贏了，你會甘心贏200走人嗎，如果你不甘心，那麼好了，剩下5毛去出賭場

QIFENG0824 : 2013-05-27#52

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happyvanw 说:
問題錯誤，電影賭俠告訴你，圍骰通吃。
莊家優勢過大，小朋友才去玩。

還有，假設你拿5百萬去賭大小，假設你第一局就贏了，你會甘心贏200走人嗎，如果你不甘心，那麼好了，剩下5毛去出賭場

看来这位仁兄对赌场很了解，是个中高手，佩服佩服！我举例不当，咱们把猜大小改为扔硬币，硬币直立的话重扔，排除庄家因素，这又会怎样？

说回数学，请大家用逻辑的角度分析一下，赌场必胜法里的漏洞（你可以拿来赌的钱不可能是无限大的）与信封游戏比照，有无可借鉴的地方？

happyvanw : 2013-05-27#53

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QIFENG0824 说:
看来这位仁兄对赌场很了解，是个中高手，佩服佩服！我举例不当，咱们把猜大小改为扔硬币，硬币直立的话重扔，排除庄家因素，这又会怎样？

说回数学，请大家用逻辑的角度分析一下，赌场必胜法里的漏洞（你可以拿来赌的钱不可能是无限大的）与信封游戏比照，有无可借鉴的地方？

其實就簡單，不要用數學去解釋，回歸現實。

加倍法賭客是有必勝的。你有500萬就行。

但關鍵是你沒有500流動現金啊，一個有500萬的正常人是不會為了贏100刀而用加倍法的。

誰稀罕100刀啊，掉價，那人身家上億耶。

而且，用500萬all in 比你一局一局加倍的勝率高。笨人才加倍，多賭一局期望值越低。

中国好声音 : 2013-05-27#54

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happyvanw 说:
其實就簡單，不要用數學去解釋，回歸現實。

加倍法賭客是有必勝的。你有500萬就行。

但關鍵是你沒有500流動現金啊，一個有500萬的正常人是不會為了贏100刀而用加倍法的。

誰稀罕100刀啊，掉價，那人身家上億耶。

而且，用500萬all in 比你一局一局加倍的勝率高。笨人才加倍，多賭一局期望值越低。

vincentkf : 2013-05-27#55

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为什么不换？拿到50的，才亏100-50=50；拿到100的，能赚200-100=100；只不过鬼知道写好的是50还是200而已，要是这个也能变就好了

baibaitu : 2013-05-27#56

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vincentkf 说:
为什么不换？拿到50的，才亏100-50=50；拿到100的，能赚200-100=100；只不过鬼知道写好的是50还是200而已，要是这个也能变就好了

介个理由听起来靠谱

westend : 2013-05-27#57

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典型的这山望着那山高, 得不到的才是最好的.

davidsk : 2013-05-27#58

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我的答案是看我拿到的钱数大小。如果我拿到只是1００，那我就换。5０和2００没什么区别。这游戏还是玩得起。要是我拿到的是1００万，那我还是不换。用5０万去赌2００万好象不值得。毕竟多5０万还是能做很多事的。

davidsk : 2013-05-27#59

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英国有一个电视游戏节目叫：Deal or No Deal。有22个箱子，每个箱子里有1分到25万。每开三个箱子，银行家会给你一个Deal，你可以接受，或一直玩下去到最后两个箱子。然后你可以选择换还是不换。那才叫考验，要是剩下两个箱子，一个是1分，另一个是25万。你是换还是不换？

ccyyyycc : 2013-05-27#60

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這其實就是個風險偏好問題。極端點就類似於給你500w你是存銀行拿固定利息還是買彩票

lzay : 2013-05-27#61

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happyvanw 说:
那个wiki是不告诉你第一封信多少钱

SNOWBEAR399 : 2013-05-27#62

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:wdb5:

看不懂，想不明白。
楼上几位高人，是不是常去赌场练数学的？

lzay : 2013-05-27#63

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这个问题是著名的概率论悖论。问题的关键是，当你拿到一个信封的时候，另外一个信封并不是大一倍和小一倍的概率都是50%。

如果有三个信封，你知道你拿到的是中间大小的那个，那么50%的概率就成立啦，你肯定要从另外两个换一个。问题是，你并不知道你拿到的是中间大小的那个。

假设三个信封有50,100,200。你随机拿一个，你预期的收获是多少那？
1/3 * 50 (拿到 50的概率是1/3）
+ 1/3 *100 (拿到100的概率是1/3）
+ 1/3 *200 (拿到200的概率是1/3）
= 50/3 + 100/3 + 200/3 = 350/3

假设你拿了一个后，再换另外两个中的一个，那么你预期的收获是多少那？
1/3 * 1/2(100+200) (拿到50换100和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+200) (拿到100换50和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+100) (拿到200换50和100的概率都是1/2）
= 150/3 + 125/3 + 75/3 = 350/3

你换不换都是一样的。

问题是，你不能拿到了100，就认为另外两个是50和200。当然有可能是25和50，也有可能是200和400。

就下来你还不能认为另外两个信封是25/50, 50/200, 200/400的概率都是1/3，因为信封里装的到底是25/50/100， 50/100/200, 100/200/400是三个问题，不能同时计算概率。貌似50%概率的错误，就源于此。

happyvanw : 2013-05-28#64

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lzay 说:
这个问题是著名的概率论悖论。问题的关键是，当你拿到一个信封的时候，另外一个信封并不是大一倍和小一倍的概率都是50%。

如果有三个信封，你知道你拿到的是中间大小的那个，那么50%的概率就成立啦，你肯定要从另外两个换一个。问题是，你并不知道你拿到的是中间大小的那个。

假设三个信封有50,100,200。你随机拿一个，你预期的收获是多少那？
1/3 * 50 (拿到 50的概率是1/3）
+ 1/3 *100 (拿到100的概率是1/3）
+ 1/3 *200 (拿到200的概率是1/3）
= 50/3 + 100/3 + 200/3 = 350/3

假设你拿了一个后，再换另外两个中的一个，那么你预期的收获是多少那？
1/3 * 1/2(100+200) (拿到50换100和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+200) (拿到100换50和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+100) (拿到200换50和100的概率都是1/2）
= 150/3 + 125/3 + 75/3 = 350/3

你换不换都是一样的。

问题是，你不能拿到了100，就认为另外两个是50和200。当然有可能是25和50，也有可能是200和400。

就下来你还不能认为另外两个信封是25/50, 50/200, 200/400的概率都是1/3，因为信封里装的到底是25/50/100， 50/100/200, 100/200/400是三个问题，不能同时计算概率。貌似50%概率的错误，就源于此。

逻辑啊大哥，哪里告诉你有3个信封啊？

就2个信封，没有再多的条件了。你自己硬加条件就会改变期望值。

你要加一个条件，那么问题可以千变万化。

如果庄家获知的信息与你不相同时，那就是炒股票的内幕交易，必赢，通杀散户。

现在2个信封，而且很多人假设这钱是白拿的，那心态一下改变。还有人假设第一个信封不是100美金，是百万美金。哇！百万美金免费给你啊，一睡醒就没了。

happyvanw : 2013-05-28#65

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这根本不是数学题，不要精算学。就按常理。别做梦了，无本生利，谁给你100美金啊？

小和尚 : 2013-05-28#66

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lzay 说:
这个问题是著名的概率论悖论。问题的关键是，当你拿到一个信封的时候，另外一个信封并不是大一倍和小一倍的概率都是50%。

如果有三个信封，你知道你拿到的是中间大小的那个，那么50%的概率就成立啦，你肯定要从另外两个换一个。问题是，你并不知道你拿到的是中间大小的那个。

假设三个信封有50,100,200。你随机拿一个，你预期的收获是多少那？
1/3 * 50 (拿到 50的概率是1/3）
+ 1/3 *100 (拿到100的概率是1/3）
+ 1/3 *200 (拿到200的概率是1/3）
= 50/3 + 100/3 + 200/3 = 350/3

假设你拿了一个后，再换另外两个中的一个，那么你预期的收获是多少那？
1/3 * 1/2(100+200) (拿到50换100和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+200) (拿到100换50和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+100) (拿到200换50和100的概率都是1/2）
= 150/3 + 125/3 + 75/3 = 350/3

你换不换都是一样的。

问题是，你不能拿到了100，就认为另外两个是50和200。当然有可能是25和50，也有可能是200和400。

就下来你还不能认为另外两个信封是25/50, 50/200, 200/400的概率都是1/3，因为信封里装的到底是25/50/100， 50/100/200, 100/200/400是三个问题，不能同时计算概率。貌似50%概率的错误，就源于此。

vancouvese : 2013-05-28#67

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换到50元和200元概率均为50%，在这样的概率下，收益驴再多出25%，当然换

口水哗哗哗的流 : 2013-05-28#68

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如果是无边无际的2个数，那么随便开一个不用选。
实际上2个信封里的钱是有底的（不会小于0块钱），也有个大概的顶（看看是谁给钱，如电视台最多10万吧）。这样拿到一个信封，必须先看看再做判断，拿到5万以下一定要换一个信封。

hgb1982 : 2013-05-29#69

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1. 不感情用事，按逻辑考虑的话，百分之百应该选择换。
2. 很多人犹豫，因为只有一次机会，想一下，如果你有十次机会，你会怎么选择。从概率上讲，如果第一个人把十次机会都选择拿100块，最后拿到了1000块，而第二个人十次机会都选择拿第二个信封，第二个人拿到超过1000块的可能性是远远大于拿到少于1000块的。
3. 可以换个思维来考虑这个选择，首先，给你50块钱，你拿走肯定是你的。然后，再给你50块钱，你可以选择跟我赌一场，最简单的赌大小，胜负概率各50%，胜了再给你100块，输了你只输50块。你会怎么选择？还用考虑么，如果一个赌场敢这么跟赌客赌的话，那这个赌场早就关门了。正常情况下，只会是你胜了赚50，输了赔50。

lzay : 2013-05-29#70

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hgb1982 说:
1. 不感情用事，按逻辑考虑的话，百分之百应该选择换。
2. 很多人犹豫，因为只有一次机会，想一下，如果你有十次机会，你会怎么选择。从概率上讲，如果第一个人把十次机会都选择拿100块，最后拿到了1000块，而第二个人十次机会都选择拿第二个信封，第二个人拿到超过1000块的可能性是远远大于拿到少于1000块的。
3. 可以换个思维来考虑这个选择，首先，给你50块钱，你拿走肯定是你的。然后，再给你50块钱，你可以选择跟我赌一场，最简单的赌大小，胜负概率各50%，胜了再给你100块，输了你只输50块。你会怎么选择？还用考虑么，如果一个赌场敢这么跟赌客赌的话，那这个赌场早就关门了。正常情况下，只会是你胜了赚50，输了赔50。

你还是糊涂着那。概率相同当然要换，问题是概率不同。

sabre : 2013-05-29#71

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lzay 说:
这个问题是著名的概率论悖论。问题的关键是，当你拿到一个信封的时候，另外一个信封并不是大一倍和小一倍的概率都是50%。

如果有三个信封，你知道你拿到的是中间大小的那个，那么50%的概率就成立啦，你肯定要从另外两个换一个。问题是，你并不知道你拿到的是中间大小的那个。

假设三个信封有50,100,200。你随机拿一个，你预期的收获是多少那？
1/3 * 50 (拿到 50的概率是1/3）
+ 1/3 *100 (拿到100的概率是1/3）
+ 1/3 *200 (拿到200的概率是1/3）
= 50/3 + 100/3 + 200/3 = 350/3

假设你拿了一个后，再换另外两个中的一个，那么你预期的收获是多少那？
1/3 * 1/2(100+200) (拿到50换100和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+200) (拿到100换50和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+100) (拿到200换50和100的概率都是1/2）
= 150/3 + 125/3 + 75/3 = 350/3

你换不换都是一样的。

问题是，你不能拿到了100，就认为另外两个是50和200。当然有可能是25和50，也有可能是200和400。

就下来你还不能认为另外两个信封是25/50, 50/200, 200/400的概率都是1/3，因为信封里装的到底是25/50/100， 50/100/200, 100/200/400是三个问题，不能同时计算概率。貌似50%概率的错误，就源于此。

有说服力.

cannonkang : 2013-05-30#72

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一倍不就是*1吗？
除非是说“两倍”或“比第一个信封”多一倍“才是乘以2不是吗？
一个是100，另一个也是一百喽

hgb1982 : 2013-06-04#73

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lzay 说:
你还是糊涂着那。概率相同当然要换，问题是概率不同。

你才是真糊涂，你连概率的本质都搞不清楚，像你的解释后面加入了一个假命题却完全脱离这道题的本意了。用概率来说明这个问题很容易，最多就是中学级别的，很多时候大多数人不喜欢太数据逻辑化的解释，所以就要换个通俗的例子。

hgb1982 : 2013-06-04#74

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lzay 说:
这个问题是著名的概率论悖论。问题的关键是，当你拿到一个信封的时候，另外一个信封并不是大一倍和小一倍的概率都是50%。

如果有三个信封，你知道你拿到的是中间大小的那个，那么50%的概率就成立啦，你肯定要从另外两个换一个。问题是，你并不知道你拿到的是中间大小的那个。

假设三个信封有50,100,200。你随机拿一个，你预期的收获是多少那？
1/3 * 50 (拿到 50的概率是1/3）
+ 1/3 *100 (拿到100的概率是1/3）
+ 1/3 *200 (拿到200的概率是1/3）
= 50/3 + 100/3 + 200/3 = 350/3

假设你拿了一个后，再换另外两个中的一个，那么你预期的收获是多少那？
1/3 * 1/2(100+200) (拿到50换100和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+200) (拿到100换50和200的概率都是1/2）
1/3 * 1/2(50+100) (拿到200换50和100的概率都是1/2）
= 150/3 + 125/3 + 75/3 = 350/3

你换不换都是一样的。

问题是，你不能拿到了100，就认为另外两个是50和200。当然有可能是25和50，也有可能是200和400。

就下来你还不能认为另外两个信封是25/50, 50/200, 200/400的概率都是1/3，因为信封里装的到底是25/50/100， 50/100/200, 100/200/400是三个问题，不能同时计算概率。貌似50%概率的错误，就源于此。

申题错误而做题，答案写的再好，最后的该得多少分？
就这道题而言，已经说的很明显了，如果要换做三个信封来分析，题目已经明确告诉说了，三个信封各是50，100，200。所以你如果你拿了100，当然可以肯定另外两个信封是50和200，再考虑25/50, 50/200云云是没有任何意义的。
所以，你的预期收获就是50/3 + 100/3 + 200/3 = 350/3，如果拿到100的信封，是小于你的预期收获的，做二次的选择是正确的。

概率的本质是要回归生活，概率的一种很好的体现就是赌博，把这个问题简单化。

如果我手里有张一百块，你愿意拿两个信封，一个50，一个200，让我随便抽一个来换我的一百块么。如果你愿意，那我肯定换。
同理，我是肯定不会拿两个信封，一个50，一个200，二选一来赌你手中的100块的。

lzay : 2013-06-04#75

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hgb1982 说:
申题错误而做题，答案写的再好，最后的该得多少分？
就这道题而言，已经说的很明显了，如果要换做三个信封来分析，题目已经明确告诉说了，三个信封各是50，100，200。所以你如果你拿了100，当然可以肯定另外两个信封是50和200，再考虑25/50, 50/200云云是没有任何意义的。
所以，你的预期收获就是50/3 + 100/3 + 200/3 = 350/3，如果拿到100的信封，是小于你的预期收获的，做二次的选择是正确的。

概率的本质是要回归生活，概率的一种很好的体现就是赌博，把这个问题简单化。

如果我手里有张一百块，你愿意拿两个信封，一个50，一个200，让我随便抽一个来换我的一百块么。如果你愿意，那我肯定换。
同理，我是肯定不会拿两个信封，一个50，一个200，二选一来赌你手中的100块的。

这个问题的奇妙之处，就是如果假定50%的概率成立的话，就会陷入无理循环：

有信封A, B; 已知两个信封的差额是1倍。
你拿到了A, 如果你认为B是1/2A 和 2A的概率都是50%，那你肯定换啦。
现在你已经换啦，但是都没有看过，既然你认为等同的50%概率，当然你也一定认为A是1/2B和2B的概率也都是50%，那你肯定又要换啦。
如此反复不停。每次更换的预期都会增加25%。。。
这当然不合理，显然是出了问题。

问题就在于，50%的概率是不成立的。

小和尚 : 2013-06-04#76

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lzay 说:
这个问题的奇妙之处，就是如果假定50%的概率成立的话，就会陷入无理循环：

有信封A, B; 已知两个信封的差额是1倍。
你拿到了A, 如果你认为B是1/2A 和 2A的概率都是50%，那你肯定换啦。
现在你已经换啦，但是都没有看过，既然你认为等同的50%概率，当然你也一定认为A是1/2B和2B的概率也都是50%，那你肯定又要换啦。
如此反复不停。每次更换的预期都会增加25%。。。
这当然不合理，显然是出了问题。

问题就在于，50%的概率是不成立的。

hgb1982 : 2013-06-04#77

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lzay 说:
这个问题的奇妙之处，就是如果假定50%的概率成立的话，就会陷入无理循环：

有信封A, B; 已知两个信封的差额是1倍。
你拿到了A, 如果你认为B是1/2A 和 2A的概率都是50%，那你肯定换啦。
现在你已经换啦，但是都没有看过，既然你认为等同的50%概率，当然你也一定认为A是1/2B和2B的概率也都是50%，那你肯定又要换啦。
如此反复不停。每次更换的预期都会增加25%。。。
这当然不合理，显然是出了问题。

问题就在于，50%的概率是不成立的。

我建议你先把这道题目认真看几遍,再来继续分析.

就这道题目而言, 先决条件已定:
1. 你拿到了100;
2. 你可以做且只能做一次选择,用手中的100换另外一个信封.另外一个信封要么是50,要么是200.

你连问题也不看, 就做了一个无理循环的假设, 把另外一个问题的解释照搬到一个不同的题目上.

最后, 如果你仔细看过题目,你会发现, LZ的问题根本不是网络上有名的two envelops problem, 这是个简化的版本. two envelops proble原题如下:

You have two indistinguishable envelops that each contain money. One contains twice as much as the other. You may pick one envelope and keep the money it contains. You pick at random, but before you open the envelope, you are offered the chance to take the other envelope instead.

你的分析完全是针对上面这个问题, 而不是lz的问题, 明白了?

民工加拿大 : 2013-06-11#78

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必须换，用50的损失去博100的机会。值！民工的心态就是不换。小老板的心态也是不换。上市公司老总的心态就是，换！必须的必

QIFENG0824 : 2013-06-11#79

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http://www.guokr.com/post/358166/

sabre : 2013-06-11#80

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QIFENG0824 说:
http://www.guokr.com/post/358166/

不对呀，
换过之后，这个时候， 1/2 是200, 1/2 是50, 潜在价值是125，
为什么用125 换 100？

小和尚 : 2013-06-11#81

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移民就好像换信封。

QIFENG0824 : 2013-06-12#82

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sabre 说:
不对呀，
换过之后，这个时候， 1/2 是200, 1/2 是50, 潜在价值是125，
为什么用125 换 100？

照这个逻辑，你拿第一封信打开来看，不管看到的是什么，你都会换且仅换一次的吧，也就是说，你看的行为对你的后续策略不产生任何影响，那么，不看也罢，直接拿第二个信封吧，那么，又成了循环了。
理智和电脑模拟都告诉我们，正确答案只有一个：没必要换。吊诡就在这里，用三套看似无懈可击的逻辑可以得出三个不同的最佳策略：反复不停地换、没必要换、换且仅换一次。
或者直接把玩法改一改，其他统统一样，只是选好信封后，你只能看自己没有选的那个信封里的数字，结果呢？产生了第四个最佳策略：千万别换。三种玩法，一个看手上的信封，一个看桌上的信封，一个什么都不看，有区别吗？我不觉得，可结果却不同。

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