圆为什么最大?这个是sabra需要你证明的,我上大学的时候证过,现在不行了。
作者:余翔
链接:
https://www.zhihu.com/question/22332382/answer/25868529
来源:知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
是的。与这个问题相关的定理是
等周定理[1],虽然圆看似是问题的答案,但这个问题的证明其实并不简单。1902年,Hurwitz给出了一个用
Fourier级数所作的证明[3],Hurwitz的证明方法如下:
设
,
,
为一逐段连续可微的封闭曲线的参数形式,引入参数
,于是
,
由于曲线封闭,有:
,
将
,
其展开成Fourier级数
则:
又:
,
曲线所围成的面积
根据三角级数的正交性
因此
当且仅当
,
,
等式才成立,也就是
这是圆的参数方程,由此可见,所有分段光滑的连续曲线都满足等周不等式
其中
为周长,
为面积,当且仅当曲线为圆时等式才成立。如果
一定,那么
最大为
,此时封闭的曲线是圆。
如果封闭曲线参数方程是
(二阶导数连续)也可以用变分给出证明。
设这条封闭曲线的参数方程为
,
,
是弧长,曲线封闭,所以
-----------------------------------------------------------------------------------------(1)
这条曲线的周长为
---------------------------------------------------------------------------------------(2)
其所围成的面积为
--------------------------------(3)
可见
是关于函数
的
泛函,问题可归结为:
在边界条件(1)和约束条件(2)下,从一切
,
函数中选一对函数,使目标泛函(3)为极大。
根据Lagrange乘子法,若在(1),(2)约束下函数
,
使得泛函(3)去取极值,则存在
常数
,使函数
满足辅助泛函
所给出的
Euler方程
式中
将G代入上式可得
积分可得
整理得
这是圆族方程,如下图所示,令
<img src="
https://pic4.zhimg.com/50/ff54b269c7601fc56b193a636722f4a9_hd.jpg" data-rawwidth="301" data-rawheight="280" class="content_image" width="301">
将上式代入等周约束(2)得
即
于是圆的方程为
这是一个半径为
,
,
为待定常数,可由边界条件(1)确定。