这是一个梯形,其中上底为12cm ,下底为 20cm. 梯形内部找到一个内接圆,这个圆与梯形的四条边都相切. 计算半径?
towerx 0$(VIP 0) 482 $0.00 $0.00 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.00 当前赞力 100.00% 2024-05-15 #1 这是一个梯形,其中上底为12cm ,下底为 20cm. 梯形内部找到一个内接圆,这个圆与梯形的四条边都相切. 计算半径?
X xchn818 -16$(VIP 0) 6,578 $-18.86 $300.31 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.05 当前赞力 100.00% 2024-05-16 #2 梯形斜边l l平方=4r平方+16 l=6+10 r=√60
reed 4$(VIP 0,#193) 6,201 $1.98 $254.69 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.04 当前赞力 100.00% 2024-05-17 #3 xchn818 说: 梯形斜边l l平方=4r平方+16 l=6+10 r=√60 点击展开... 内切圆是关键条件,请问你这个计算是怎样体现的?
X xchn818 -16$(VIP 0) 6,578 $-18.86 $300.31 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.05 当前赞力 100.00% 2024-05-17 #4 reed 说: 内切圆是关键条件,请问你这个计算是怎样体现的? 点击展开... 如图 BC=BD Ac=af Ab=Ac+bc Bh=2r Ah=4 勾股定理
reed 4$(VIP 0,#193) 6,201 $1.98 $254.69 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.04 当前赞力 100.00% 2024-05-17 #5 xchn818 说: 如图 BC=BD Ac=af Ab=Ac+bc Bh=2r Ah=4 勾股定理 浏览附件673856 点击展开... 你附加了一个条件,限定这是个等腰梯形,所以大大简化了计算。 但其实任意梯形都可以有内切圆,计算就很复杂了。 我可以证明,任意梯形具有内切圆的条件是两腰之和等于上下底之和,但再求内切圆半径的一般表达式,将涉及复杂的演算,我却步了
xchn818 说: 如图 BC=BD Ac=af Ab=Ac+bc Bh=2r Ah=4 勾股定理 浏览附件673856 点击展开... 你附加了一个条件,限定这是个等腰梯形,所以大大简化了计算。 但其实任意梯形都可以有内切圆,计算就很复杂了。 我可以证明,任意梯形具有内切圆的条件是两腰之和等于上下底之和,但再求内切圆半径的一般表达式,将涉及复杂的演算,我却步了
X xchn818 -16$(VIP 0) 6,578 $-18.86 $300.31 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.05 当前赞力 100.00% 2024-05-17 #6 reed 说: 你附加了一个条件,限定这是个等腰梯形,所以大大简化了计算。 但其实任意梯形都可以有内切圆,计算就很复杂了。 我可以证明,任意梯形具有内切圆的条件是两腰之和等于上下底之和,但再求内切圆半径的一般表达式,将涉及复杂的演算,我却步了 点击展开... 梯形不一定有内切圆,如一个很狭长的梯形。不等腰梯形,也是一样的解法,多几个变量。
reed 说: 你附加了一个条件,限定这是个等腰梯形,所以大大简化了计算。 但其实任意梯形都可以有内切圆,计算就很复杂了。 我可以证明,任意梯形具有内切圆的条件是两腰之和等于上下底之和,但再求内切圆半径的一般表达式,将涉及复杂的演算,我却步了 点击展开... 梯形不一定有内切圆,如一个很狭长的梯形。不等腰梯形,也是一样的解法,多几个变量。
reed 4$(VIP 0,#193) 6,201 $1.98 $254.69 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.04 当前赞力 100.00% 2024-05-17 #7 xchn818 说: 梯形不一定有内切圆,如一个很狭长的梯形。不等腰梯形,也是一样的解法,多几个变量。 点击展开... 当然不是所有梯形都有內切圆,很高或很扁的显然不可能有。条件就是我上面说的,两腰长之和等于上下底长之和,符合这个条件的梯形才有內切圆。 不等腰梯形,要求解內切圆半径,复杂很多,但应该只用初等运算即可,也就是代数和三角函数,各种变换技巧。
xchn818 说: 梯形不一定有内切圆,如一个很狭长的梯形。不等腰梯形,也是一样的解法,多几个变量。 点击展开... 当然不是所有梯形都有內切圆,很高或很扁的显然不可能有。条件就是我上面说的,两腰长之和等于上下底长之和,符合这个条件的梯形才有內切圆。 不等腰梯形,要求解內切圆半径,复杂很多,但应该只用初等运算即可,也就是代数和三角函数,各种变换技巧。
reed 4$(VIP 0,#193) 6,201 $1.98 $254.69 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.04 当前赞力 100.00% 2024-05-17 #8 楼主 @towerx 有什么见解?可以分享一下吗
X xchn818 -16$(VIP 0) 6,578 $-18.86 $300.31 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.05 当前赞力 100.00% 2024-05-18 #9 我算了一下,如果这道题不是等腰梯形,没有一般解,半径会随角度的不同而不同。譬如梯形顶边一头发生变化,为了保证内切,底边长度也变化,但变化长度和顶边不同,如果要维持条件中的边长,顶边另一方向需做反向变化,由于切点位置不同,底边变化不能保持另一端变化的比例相同。
我算了一下,如果这道题不是等腰梯形,没有一般解,半径会随角度的不同而不同。譬如梯形顶边一头发生变化,为了保证内切,底边长度也变化,但变化长度和顶边不同,如果要维持条件中的边长,顶边另一方向需做反向变化,由于切点位置不同,底边变化不能保持另一端变化的比例相同。
reed 4$(VIP 0,#193) 6,201 $1.98 $254.69 0.00 0.000 0.0000 最大赞力 0.04 当前赞力 100.00% 2024-05-18 #10 没错,如果不是等腰梯形,只给出上底和下底,则内切圆半径是不确定的。 在有内切圆和固定两底长的条件下,我把梯形的高 h 解出来(h = 2r),它是梯形两个底角的变量,所以没有一般解。只有在等腰梯形的条件下,楼主的题目才有解。 如果是等腰梯形,则两底角相等,于是由上式可推出腰长等于上下两底的平均值,再用勾股定理就可算出梯形的高,内切圆半径是高的一半。(正如4楼的结果)
没错,如果不是等腰梯形,只给出上底和下底,则内切圆半径是不确定的。 在有内切圆和固定两底长的条件下,我把梯形的高 h 解出来(h = 2r),它是梯形两个底角的变量,所以没有一般解。只有在等腰梯形的条件下,楼主的题目才有解。 如果是等腰梯形,则两底角相等,于是由上式可推出腰长等于上下两底的平均值,再用勾股定理就可算出梯形的高,内切圆半径是高的一半。(正如4楼的结果)