回复: 请教数学或物理大师：奇怪的乘法
我觉得乘法无法脱离“多个相同数累加”这个定义。
就面积和体积来说，乘法没有扩展到几何概念，只是人们误以为自己在计算面积或体积。
比如一个小学生在利用中小学的公式计算面积或体积，他很可能认为自己在计算面积和体积，但在数学看来（假设数学是一个人），或者在我看来，他并不是在计算面积或体积。
原因我暂时不说，看看大家是不是把这些小学数学也还给老师了。
[FONT=宋体]建议楼主先从数学发展的角度理解，之前各位大师提到的“万物皆数”和“量纲归一”已属发散的哲学猜想，其实和问题本身没有太大的关系。[/FONT]
[FONT=宋体]乘法，作为基础运算，确实从未脱离过“相同数字相加”的定义。但其实你先前提问里的“乘法”，已经是“内积”的概念了（点乘）。[/FONT]
[FONT=宋体]之所以问楼主矩形面积公式，是因为它是定量平面几何中所有图形“面积”公式的基础，在古希腊几何创始时，是作为“公设”来使用的。后来，毕达哥拉斯学派基于“万物皆为自然数”的朴素概念，给出了证明。其实面积公式先来自于“定义一个边长为[/FONT]
1[FONT=宋体]的正方形面积为[/FONT]
1[FONT=宋体]”，然后类似于“数格子”的方式，证明了矩形面积公式，再用几何方法证明各个图形的面积公式。[/FONT]
[FONT=宋体]二维平面的面积，经定义后，直观地符合“数乘”的原始概念。三维物体的体积就同样的需要先定义“[/FONT]
3[FONT=宋体]个维度上尺度为[/FONT]
1[FONT=宋体]的物体，体积为[/FONT]
1[FONT=宋体]”，如何表示这些“[/FONT]
1[FONT=宋体]”的不同含义，只有将维度的名字一一罗列于数量之后。很显然，体积公式就需要不止一次数乘了（比如魔方）。牛顿以[/FONT][FONT=宋体]《自然哲学之数学原理[/FONT][FONT=宋体]》，[/FONT][FONT=宋体]从数学推及了物理的概念。事实上，物理学中量纲的另一个名字也叫做维度。[/FONT]
7[FONT=宋体]个已发现的基本量纲也就构成了物理学中每个物理量的维度。各个维度是“正交”的，“正交”也正是由几何中“垂直”的概念引申而来，正交的量纲之间独立存在，互相无投影。每个物理量涉及的维度数（维数）即是独立参数的个数，作为维度的各个量纲也必须列在数值的后面。[/FONT]
[FONT=宋体]比如，由动能公式可看出，焦耳，这个功的单位是由千克、米、秒，这三个基本量纲组合而成。所以，“焦耳”这个单位前面的数值，是表示在由“千克，米的平方，秒的负[/FONT]
2[FONT=宋体]次方”这些维度组成“空间”里的位置，也就是说，[/FONT]
1[FONT=宋体]焦耳被定义为：（常数）乘以（[/FONT]
1[FONT=宋体]千克）乘以（[/FONT]
1[FONT=宋体]米平方）乘以（秒负[/FONT]
2[FONT=宋体]次方）。[/FONT]
[FONT=宋体]这样看，一开始作为替代多个数字加法运算的乘法，已隐含了二维的概念。那么，后来数学和物理发展后用到的多维向量的乘法（矩阵乘法等）被分解为若干个乘法与加法，应该就比较容易理解了。[/FONT]
