9年级数学题，求教

[铁蛋宝宝]

一个正整数数列A是1，3, 7, 12...., 数越来越大，凡是在A数列中未出现的越来越大的正整数一定会在B数列中出现，例如B数列将会是2,4,5,6,8,9,10,11,13...，如此重复，每个数只能而且必须出现一次。
请问，A数列的第100项的数是多少？不知道我翻译的大家能懂不？
请给出简单一点的算法。

英文原题目是这样的：我是copy下来的，不是我写的。所以大家不要在这上面挑错。

The GEB sequence 1; 3; 7; 12; : : : is defined by the following properties:

(i) the GEB sequence is increasing (that is, each term is larger than the previous term),

(ii) the sequence formed using the differences between each pair of consecutive terms
in the GEB sequence (namely, the sequence 2​

​

; 4; 5; : : :) is increasing, and​

(iii) each positive integer that does not occur in the GEB sequence occurs exactly once in the sequence of differences in (ii).

What is the 100th term of the GEB sequence?​

 

[淡定二哥]

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300

 

[shiyun]

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没看明白，B数列拿来干嘛？

 

[shiyun]

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不是 0 3 7 12 吗？

 

[铁蛋宝宝]

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没有0， 是正整数，1,3,7,12，我算出来接下来下面是18,26,35,45...但是我这是笨办法，我求简单的办法。

 

[铁蛋宝宝]

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300

不可能的

 

[铁蛋宝宝]

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没看明白，B数列拿来干嘛？

B数列就是对应A数列的，就是说凡是在A中未出现的，B中必会出现，然后AB加起来，就是后边那个数。
例如，1,3之间缺了2， 1+2=3,3和7之间缺了4,5,6，那么接下来的数就是3+4=7， 7+5=12， 12+6=18....以此类推。

 

[findme]

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给个正解，

http://www.cemc.uwaterloo.ca/contests/past_contests/2013/2013PascalSolution.pdf

最后一题的solution.

答案是：5764

 

[shiyun]

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维基百科说：
Hofstadter Figure-Figure sequences

The Hofstadter Figure-Figure (R and S) sequences are a pair of complementary integer sequences defined as follows[1][2]

with the sequence {S(n)} defined as the positive integers not present in {R(n)}. The first few terms of these sequences are
R: 1, 3, 7, 12, 18, 26, 35, 45, 56, 69, 83, 98, 114, 131, 150, 170, 191, 213, 236, 260, ... (sequence A005228 in OEIS)S: 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ... (sequence A030124 in OEIS)

 

[findme]

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好家伙，这是waterloo大学组织的数学竞赛题。

一般九年级孩子哪会啊？

楼上引的也没错，数学史上有名的数列问题。

 

[铁蛋宝宝]

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给个正解，

http://www.cemc.uwaterloo.ca/contests/past_contests/2013/2013PascalSolution.pdf

最后一题的solution.

答案是：5764

你这是添乱，我不要这个答案！我要简单的，明白的，中文的。

 

[findme]

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你这是添乱，我不要这个答案！我要简单的，明白的。

或者写程序编程。

那位有时间看懂英文解答的，给个中文说明，看看够不够简单明白的。

 

[deebar]

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这种题目我觉得计算机解决是最好方式，可以用编程解决。

 

[Carc]

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要靠笔算解这个题的话，那就是笨办法加取巧相结合。
设数列A前一百位是：X1，X2，X3...X100
设数列B前九十九位是：Y1，Y2，Y3...Y99

已知：X2-X1=Y1, X3-X2=Y2, ...X100-X99=Y99
因此：X2=X1+Y1, X3=X2+Y2,...X100=X99+Y99

这组等式左右全部加起来得到：
X2+X3+...+X100 = (X1+X2+...+X99) + (Y1+Y2+...+Y99)

稍整理得到：
X100+(X2+X3...+X99) = X1+(Y1+Y2+...+Y99) + (X2+X3...+X99)

因此 X100 = X1 + (Y1+Y2+...Y99)
也就是A数列第一百个数等于A数列第一个数加上B数列前99个数的和

接下来就是笨办法：A数列稍微往后算算，有这么些个数：
1,3,7,12,18,26,35,45,56,69,83,98,114...到114可以打住，因为超100了

可以看到A数列前12位小于100，也就是有88个小于等于100的整数在B数列中，从101-114还有13位必须出现在B数列中，所以B数列前99位很明确了吧？

1+2+...+100中国人从小就知道了，高斯算法得5050，A数列前12个的和算出来是453，这样B数列前88个就是5050-453=4597。B数列100后还需要补上11个，也就是（101+102+...+111）=1166

最后得X100=5050-453+1166+1=5764

 

[imharry]

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A序列（GEB序列）是递增的，剩下的正整数全部包含在B序列（差值序列）；
这样12以下的正整数（除了1，3，7）共有8个包含在B序列（2;4;5;6;8;9;10;11; ）；


(可算出GEB序列的第4项为：1+（2+4+5） =12
第5项为：1+（2+4+5+6） =18，
...
第9项为：1+（2+4+5+6+8+9+10+11） =56），
...

A序列中的第4个是12，而第四个B序列的数值为6，
那么第5个A序列的数字是18 （12+6）；
...

第8个A序列数字是45，
小于12的B序列中的第8个是11，
那么第9个A序列的数字是56 （45+11）；


以此类推：
A序列的前6个是：1，3，7，12，18，26，
B序列相应是：2;4;5;6;8;9;10;11;13;14;15;16;17;19;20;21;22;23;24;25;


小于114的A序列的个数是12个（1;3;7;12;18;26;35;45;56;69;83;98;第13个是114）
其他101（=113-12）个在B序列中。

由此可见，B序列（差值序列）的第101项是113，第100项是112，第99项是111；

而为了计算A序列的第100项，需要算清楚有多少个在B序列中，然后只需要算清楚B序列前99项之和。


算法如下：
计算出所有包含99项B序列最大值一下的所有正整数和，减去其中A序列中的数值和（可枚举）：

1 + (2 + 4 + 5 + 6 + 8 +...


+ 109 + 110 + 111)
= 1 + (1 + 2 + 3 + 4 +
...

+ 109 + 110 + 111) - (1 + 3 + 7 + 12 + 18 + 26 + 35 + 45 + 56 + 69 + 83 + 98)
= 1 + 1/2 * (111+1)*111 - 453
= 5764


反正就是不断迭代下去。

 

[findme]

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A序列（GEB序列）是递增的，剩下的正整数全部包含在B序列（差值序列）；
这样12以下的正整数（除了1，3，7）共有8个包含在B序列（2;4;5;6;8;9;10;11; ）；


(可算出GEB序列的第4项为：1+（2+4+5） =12
第5项为：1+（2+4+5+6） =18，
...
第9项为：1+（2+4+5+6+8+9+10+11） =56），
...

A序列中的第4个是12，而第四个B序列的数值为6，
那么第5个A序列的数字是18 （12+6）；
...

第8个A序列数字是45，
小于12的B序列中的第8个是11，
那么第9个A序列的数字是56 （45+11）；


以此类推：
A序列的前6个是：1，3，7，12，18，26，
B序列相应是：2;4;5;6;8;9;10;11;13;14;15;16;17;19;20;21;22;23;24;25;


小于114的A序列的个数是12个（1;3;7;12;18;26;35;45;56;69;83;98;第13个是114）
其他101（=113-12）个在B序列中。

由此可见，B序列（差值序列）的第101项是113，第100项是112，第99项是111；

而为了计算A序列的第100项，需要算清楚有多少个在B序列中，然后只需要算清楚B序列前99项之和。


算法如下：
计算出所有包含99项B序列最大值一下的所有正整数和，减去其中A序列中的数值和（可枚举）：

1 + (2 + 4 + 5 + 6 + 8 +...


+ 109 + 110 + 111)
= 1 + (1 + 2 + 3 + 4 +
...

+ 109 + 110 + 111) - (1 + 3 + 7 + 12 + 18 + 26 + 35 + 45 + 56 + 69 + 83 + 98)
= 1 + 1/2 * (111-1)*111 - 453
= 5764


反正就是不断迭代下去。

应该是 1+1/2*(111+1)*111-453 = 5764

 

[imharry]

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应该是 1+1/2*(111+1)*111-453 = 5764

对，谢更正

 

[zttz]

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要靠笔算解这个题的话，那就是笨办法加取巧相结合。
设数列A前一百位是：X1，X2，X3...X100
设数列B前九十九位是：Y1，Y2，Y3...Y99

已知：X2-X1=Y1, X3-X2=Y2, ...X100-X99=Y99
因此：X2=X1+Y1, X3=X2+Y2,...X100=X99+Y99

这组等式左右全部加起来得到：
X2+X3+...+X100 = (X1+X2+...+X99) + (Y1+Y2+...+Y99)

稍整理得到：
X100+(X2+X3...+X99) = X1+(Y1+Y2+...+Y99) + (X2+X3...+X99)

因此 X100 = X1 + (Y1+Y2+...Y99)
也就是A数列第一百个数等于A数列第一个数加上B数列前99个数的和

接下来就是笨办法：A数列稍微往后算算，有这么些个数：
1,3,7,12,18,26,35,45,56,69,83,98,114...到114可以打住，因为超100了

可以看到A数列前12位小于100，也就是有88个小于等于100的整数在B数列中，从101-114还有13位必须出现在B数列中，所以B数列前99位很明确了吧？

1+2+...+100中国人从小就知道了，高斯算法得5050，A数列前12个的和算出来是453，这样B数列前88个就是5050-453=4597。B数列100后还需要补上11个，也就是（101+102+...+111）=1166

最后得X100=5050-453+1166+1=5764

犀利

 

[happyvanw]

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What is the 900th term of the GEB sequence?[/FONT]

anyone? anyone?

 

[imharry]

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427417，不过能不再往上加了吗？
九年级100差不多了。

anyone? anyone?