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也就是说，2005年北京的案子已经进入到了全面审理阶段。
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可能9月会全面启动吧
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议事时间到，各位！
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another new week, a new start, a new hope !
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我在05年的帖子里发了一个帖子,大家到那里去看看,我的朋友05,1的bj case来消息了
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看来大家都很乐观觉得今年有戏。但愿如此吧！有me就满足。我11月的fn.
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浅谈芝诺的悖论
最近友人来信，提醒了我古希腊哲学家和数学家芝诺。和著名的大哲学家苏格拉底、柏拉图、亚里士多德等人比起来，他实在是个小萝卜头。然而就是这样的二流角色，咱们的老祖宗中似乎也找不出来。至少，我还没见过有谁提出过他的著名悖论，难倒了两千多年的天才们。
此文根据《网上哲学百科全书》中有关芝诺的部份写出，着重介绍他的有名悖论。
一、芝诺的悖论
芝诺于公元前４８８年生于意大利，是著名哲学家巴门尼德 （Parmenides）的弟子。巴门尼德学派主张客观存在是单一的、静止的、不变的，人们感知到的多个事物以及它的们变化与运动，其实不过是一种主观错觉。
芝诺是天才数学家，为了驳斥老师的论敌，他使用数学手段来证明主观感受到的“多个”（multiplicity）和“运动”的观念在逻辑上自相矛盾。
芝诺的基本思路是：空间和时间的基本概念，都可以抽象为数学上的“线”以及“点”的概念。如所周知，几何学的“线段”就是“多个点的集合”。从此出发，芝诺提出了两组著名悖论。第一组悖论包括两个论点，旨在证明所谓“多个”的概念并不成立：
１、一条线段可以被二等分无穷多次，永远也不会被分割完毕。
２、如果认为一条线段有多个点组成，必然导致自相矛盾的结论。因为线段的长度有限，所以含有的点的数目必然有限。但因线段同时又是可以无限分割的，因此，它必然含有无穷多的点。因此，假设一条线段由多个点组成是自相矛盾的。
第二组悖论旨在证明运动的不可能。共有四条，第四条需要画图讲解，十分麻烦，在此略去，有兴趣者可以去看英文原文（见文末联结）。
１、一个物体从空间的一点运动到另一点，其实也就是从线段的一端到达另一端，那就意味着该物体必须通过空间中的无穷多的点，而在有限的时间内，物体不可能通过空间中无穷多的点。
２、飞毛腿（Achilles，希腊神话英雄，为冥神之子）和乌龟赛跑，却永远无法赶上乌龟。假定他的速度是乌龟的１００倍。乌龟先爬出一百米，当他跑到１００米时，乌龟又往前爬了一米。当他跑完一米时，乌龟又往前爬了一厘米，当他跑完一厘米时，乌龟又往前爬了１／１００厘米……。就这样，尽管二者距离越来越短，却是无限趋近于零而不等于零的无穷小量。Therefore，飞毛腿永远赶不上乌龟。
３、飞箭不动。一枝射出的箭，在任何一个给定时刻，总是占据了一个和它等长的空间，因此在该时刻是固定不动的，所以，它在所有的时刻都是静止的。无穷多的静止位置的集合不可能是运动。
二、如何理解芝诺悖论
芝诺悖论貌似战国时代公孙龙等人“白马非马”、“坚白石”之类的诡辩，但本质完全不同，不但有严格的数学论证（咱们的老祖宗连世上有论证这档子事都不知道，从来是 “论而不证”），而且指出了逻辑思考的“天尽头”，也就是人类理性思维的固有局限。公元前５世纪的古人就有这种洞察力，当真是让人咋舌。
这些悖论的实质精神是：有限的整体，不可能由无限数量的部份组成，而这正是假定“整体由部份组成”必然面临的逻辑困境。如果承认整体由部份组成，则它只可能有两种组成方式：或者由不可分的单元组成，或者无限可分。如果是前者，则那单元本身必然具有一定数量，倘如此，则我们立刻面对着明显的逻辑矛盾：世上哪有什么数量是不可分的？但如果整体无限可分，则我们又面临另一矛盾：无限数量的成份加起来，竟然会等于一个有限的总量！
这问题其实具有普遍意义，不但适用于直线那种一维结构，同样适用于面、体等**结构 ── 您总不会认为一个香蕉是由无限多的部份组成的吧？但您若不承认这点，立刻就会创造出个“不可切割的香蕉单元”出来，那同样不可思议。
悖论本身还质疑了数学和物理上的最基本观念：“连续性”。那“飞箭不动”就是如此。这里换用子弹出膛更说明问题：假设击发为时间零点，您说在该时点，那子弹究竟是静止的，还是运动的？如果算不动，那从哪个时点算起来，它才是运动的？您永远也找不到一个可以分开“运动”和“静止”的时点来。“运动”和“静止”似乎是两回事，可在实际中却无法分开！
三、康德、休谟和黑格尔的解答
芝诺的悖论就像斯芬克思的千古之谜，对后世的天才们构成了严峻的智力挑战，好几个大哲学家都尝试解决这些难题。
康德认为，这些矛盾其实是人类时空观念中固有的，因此，无论时间还是空间其实都不是真实的。时间和空间并非事物的属性，而是我们感知事物方式的属性。它们不过是我们感知的形式而已，是我们的头脑把时间和空间强加给了客观世界，而不是客观世界把时间和空间强加给咱们的大脑。
从芝诺悖论中，康德看到了对“无穷”的理解超出了人类的理性能力。只要我们试图去思考这一问题，无论是“无穷大”还是“无穷小”，都会遇上不可调和的逻辑矛盾。
另一大哲学家休谟则否认时间和空间的无限可分性，他认为两者都是由有限的不可分的单元组成的，犹如魔方由２７块木块组成一般。但上文已经说过：那单元本身必有一定数量，而这种本身既具有一定数量、却又是不可分割的单元是无从想像的。
黑格尔乃是马克思的鼻祖，他自然只会用辩证法给出答案来。他认为，芝诺的悖论其实反映了理性本质上的矛盾性。一切思想和推理，都含有内在的矛盾，矛盾的两方面首先是互相否定的，但在更高层次上却得到统一。
例如该悖论指出的“无限可分性的矛盾”，其实可在人们对“数量”的更高层次的认识中得到统一。人们对“数量”的认识含有两个因素，也就是“单一”和“多个”。“数量”指的就是由多个组成的一个，或一个中的多个。当我们考虑任何一定数量的事物时，例如一堆麦子，那首先指的是“一”，也就是整体。其次，那也是指“多个”。因为它是由许多部份组成的。作为“一”，它是连续的；作为“多个”，它们是间断的。对数量的真正认识，既不是脱离了“多个”的“一”，也不是脱离了“一”的“多个”，而是两者的“合成”（synthesis），也就是“一”包括了的“多个”。
类似地，当我们考虑一条线段时，首先只会想到它是一个整体。此时，它就是连续的、不可分的单元。接下来我们就会把它当成“多个”来考虑，此时它就分解为多个组成部份，每个部份又可以看成是一个整体，因此是不可分的单元，但接下来我们又把该单元看成是多个，于是它又分解为多个组分……这过程可以无限重复下去，而正是这种认识论导致芝诺悖论产生。
但这种认识论是错误的，因为它使用了错误抽象，也就是先把“多个”看成是和“一”有本质区别的东西，接着又把“一”看成和“多个”有本质区别。如果坚持认定线段只是“一”，不是“多个”，必然导致“不可分单元”说；反过来，如果把线段只看成是“多个”，则必然导致“无穷可分说”。但真实情况是它既不只是“一”也不只是“多个”，而是“包含多个的一”，也就是说，它是一个“量”（quantity）。矛盾的两方面在某个意义上都是真实的，因为两者都是真实的因素之一，但也同时是假的，因为它们只各自代表了一部份真实。
四、现代解答
下面这段文字是我从原文中直译的，因为是票友，翻译得非常蹩脚，诸位凑合著看吧。
康德、休谟和黑格尔的解答对其后的思想家们具有很大的启发与刺激作用，但最终并未被接受。对应该怎样修正传统观念才能逃出芝诺发现的矛盾，数学家、物理学家和哲学家们现已达成共识。时间、空间和运动的概念，乃至直线、数、测量和集合的数学概念，都得作根本上的修正。
芝诺所使用的整数必须以现代的实数概念来代替。新的“一维连续”概念不再是芝诺想像中的那个，而是按其自然序列（递减）排列的实数的标准模型。这新的直线概念，便是如今科学家们用以考虑空间和时段的基础。直线不再如芝诺假设的那样，是点的集合，而是不可计量的无穷多的点单元的集合。只有这样才能理解为何由零维组成的点可以构成**结构诸如一维的直线和二维的平面，否则便要遇到为芝诺指出的那个无限多的零加起来还是零的矛盾。此外，点在直线上排列得非常紧密，没有哪两个点可以紧挨在一起。在两个点之间总有第三个、第四个、第五个……点。点的无穷性也远比芝诺想像的高。实数的不可计量的无限性（因而是空间点和时点的不可数的无限性）也比整数的可计量的无限性高得多。因此，无限多的数加在一起可以得出有限的总数来。
在作出这些修正之后，数学家和科学家们现在可以说，芝诺的全部论点都建筑在错误假设上的。在现代数学和科学中，再也不可能出现芝诺那样的悖论。飞毛腿能赶上乌龟，飞箭确实在运动，也可以在有限的时间内通过空间中无限多的位置，这一切都没有矛盾。
解决芝诺悖论的功劳不能算在某一个人的头上。从牛顿、莱布尼兹建立微积分，直到２０世纪初叶Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Cantor, Einstein, and Lebesque的数学研究，都为此作出了实质贡献。从哲学上来说，唯一最伟大的贡献是，以靠创造逻辑上自洽的数学概念来推动定量科学的发展，取代了对人类自由想象力的依赖。
五、郁郁乎文哉，吾从康
前节介绍的当代科学家们的解答，老芦读来觉得不是那么信服，特别是“在现代数学和科学中，再也不可能出现芝诺那样的悖论”的革命乐观主义精神，以及“以靠创造逻辑上自洽的数学概念来推动定量科学的发展，取代了对人类自由想象力的依赖”的唯物主义精神，似乎有点过于武断。
芝诺悖论我是在高中时代看到的，此后断断续续地想了几十年。有的悖论倒容易发现破绽，例如那“龟兔赛跑”就是这样。从微积分上看那似乎确实不错，但仔细一想破绽就出来了：
“假定他的速度是乌龟的１００倍。乌龟先爬出一百米，当他跑到１００米时，乌龟又往前爬了一米。当他跑完一米时，乌龟又往前爬了一厘米，当他跑完一厘米时，乌龟又往前爬了１／１００厘米……。就这样，尽管二者距离越来越短，却是无限趋近于零而不等于零的无穷小量。Therefore，飞毛腿永远赶不上乌龟。”
这里隐含的前提，其实是把时间的度量缩得越来越小，飞毛腿先是花一定时间（假定是１０分钟吧）跑完１００米，此后却花了１／１０分钟去跑那１米，接着又花１／１０００分钟去跑那１厘米，接着又花１／１０００００分钟去跑那１／１００厘米……因此，他花的时间其实是个无穷收敛的变量，以１０分钟为极限值，其总和也就大致等于１０分钟，换言之，在飞毛腿快要追上乌龟时，时间却突然停滞下来了，这样当然永远追不上乌龟。这根本就不符合实际。这点我倒是在上高三时就想明白了。
难的还是那“无穷多的部份不可能组成有限的整体”和“飞箭不动”的悖论。我想来想去，觉得还是康德说的有道理。
所谓时间和空间，确实是人的主观感觉，根本说不上是什么物质世界的客观属性。例如“同时性”这个观念，完全就是我们的本能感觉。但爱因斯坦证明了，时间其实是相对的。所谓“同时性”只适用于同一系统。在不同运动系统中，时间的流逝速度根本就不一样。因此，我在国外过了一分钟，国内也同样过了一分钟，但在某个星球上看起来，那可能就是一小时。
最成问题的还是这“连续性”概念。例如上文说的那香蕉吧，表面是连续的，其实根本就不连续。不但分子之间有空间，分子之内也有空间，原子也是这样。因此，休谟说的其实很有道理：香蕉就是由数量有限的基本单元组成的。不但组成香蕉的分子量有限，原子量有限，就连基本粒子数量也肯定有限。最后我们可能碰到一个具有量级、但再也无法分割的粒子。这完全是可能的，虽然从数学上看来难以思议。
我想，这就是芝诺悖论的哲学意义：他是历史上指出理性的局限的第一人。所有的问题，其实都是用数学方式来思考宇宙引出来的。但数学不是自然科学，只不过是人类内在的理性思维能力的自由发挥而已。
凡是学过中学数学的同志都该知道，数学模型其实根本不存在于自然界中。例如几何的基本概念“点、线、面”都是所谓“理想模型”，“点”没有长度，“线”没有宽度，“面”没有厚度。如此模型，根本不存在于自然界之中，完全是数学家们自由想像出来的brain-child。但要进行数学研究，就非得使用这些纯粹的brain-child不可。点一旦有了长度，线一旦有了宽度，面一旦有了体积，则立刻就变成了具体的点、线、面，再不是抽象概念，再不能代表全世界的点、线、面了。
因此，数学思维的过程就是一个抽象过程，而这抽象的结果，必然是偏离客观真实，造出一堆客观世界没有的模型来，当人们反过来去用这些失真的模型去处理客观事物时，必然就要遇到芝诺悖论那样的困境，出现了“没有长度的‘点’却可以组成具有长度的‘线’”的悖论。这困境是人类的思维内在的缺陷，在我看来根本就无法解决。
康德有名言曰：“理性为自然立法”，说的就是这个道理。虚数的“发现”最能说明这一点。它的“发现”其实不过反映了人类要把某种运算进行到底的骡子脾气而已。在物理学中，它完全只是一种借用来的方便工具。
当然，面临困境，数学家和科学家们作了一代又一代的努力。例如上节译文就强调了“实数”，但我看那并不能解决什么问题，反倒制造出新的问题来。
所谓“实数”，大家都知道那就是“有理数”和“无理数”的集合。但什么是无理数，似乎根本就没个正面定义，只有“排除定义”，也就是“凡是不可用分数表达的数就是无理数”，也就是“数轴上凡是不是有理数的点都是无理数”，两者加在一起，就覆盖了整个数轴，可谓“算无遗策”。问题是，怎么确定和怎么计算无理数，似乎就没有个统一规律可循，与其说它的存在是表现了人类智力成就，莫如说反映了人类智力的局限。
再如“飞箭不动”的问题，那其实是对“瞬时速度”概念的质疑：在某个特定时点（也就是空间位点）上，飞箭不可能有什么“速度”，因为既然是速度，必须通过一段距离才谈得上。但上文已说过，“点”是没有长度的，哪还能谈什么距离和速度？
牛顿的解决办法，是把“点”的概念偷换为一个“无穷小”的长度，这无穷小长度再除以飞箭的飞越时间，便得出一个变量，其极限值便是该点的即时速度。这办法确实聪明之极，但在我看来，这并没有解决悖论。它只告诉你怎么取巧，去算出物体在某个空间位点的速度来，却回避了“没有距离就没有速度可言”的根本难题。
上举那个子弹出膛的例子就能说明这一点。即使用微积分，也无法从时间上准确区分物体从静止变为运动的“转折点”，就像在数轴上找不到一个绝对值最小的数一样。于是，我们便连区分“静止”和“运动”、“零”和“大于零”的界限都找不到。静止和运动这两种截然不同的状态，竟然会是一个连续的平滑的数学过程，而“无”和“有”之间也没有什么分界线。这实在是无法自圆其说。
最能说明问题的，还是高等数学中的“开区间”概念。例如1＜X＜3，这变量X代表的线段就是所谓“开区间”，它的特点是既有限又无限。说它有限，是其长度小于2 ；说它无限，是因为这线段根本没有终点，你永远也找不出它的最大值和最小值来。有趣的是，这个高等数学中的最基本概念，本身就是个悖论，然而就在这悖论上建立了高等数学的大厦！
据说芝诺的学生曾问他：老师，你知识如此渊博，怎么还老觉得自己很无知呢？芝诺在沙盘上画了一大一小两个圆圈，然后跟学生说，小圆内就是你们的知识，大圆内是我的知识，圆外的空间就是未知世界。因为我的圆比你们的大，周长就比你们的大，因此接触到的未知就更多。
在我看来，这就是人类的科学史和思想史。比起两千年前的古人来，咱们的圆圈大到不可比拟，但接触到的未知因而更多。而且，不管这圆圈变得多大，它将永远是一个冲不出去的围城。
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浅谈芝诺的悖论
最近友人来信，提醒了我古希腊哲学家和数学家芝诺。和著名的大哲学家苏格拉底、柏拉图、亚里士多德等人比起来，他实在是个小萝卜头。然而就是这样的二流角色，咱们的老祖宗中似乎也找不出来。至少，我还没见过有谁提出过他的著名悖论，难倒了两千多年的天才们。
此文根据《网上哲学百科全书》中有关芝诺的部份写出，着重介绍他的有名悖论。
一、芝诺的悖论
芝诺于公元前４８８年生于意大利，是著名哲学家巴门尼德 （Parmenides）的弟子。巴门尼德学派主张客观存在是单一的、静止的、不变的，人们感知到的多个事物以及它的们变化与运动，其实不过是一种主观错觉。
芝诺是天才数学家，为了驳斥老师的论敌，他使用数学手段来证明主观感受到的“多个”（multiplicity）和“运动”的观念在逻辑上自相矛盾。
芝诺的基本思路是：空间和时间的基本概念，都可以抽象为数学上的“线”以及“点”的概念。如所周知，几何学的“线段”就是“多个点的集合”。从此出发，芝诺提出了两组著名悖论。第一组悖论包括两个论点，旨在证明所谓“多个”的概念并不成立：
１、一条线段可以被二等分无穷多次，永远也不会被分割完毕。
２、如果认为一条线段有多个点组成，必然导致自相矛盾的结论。因为线段的长度有限，所以含有的点的数目必然有限。但因线段同时又是可以无限分割的，因此，它必然含有无穷多的点。因此，假设一条线段由多个点组成是自相矛盾的。
第二组悖论旨在证明运动的不可能。共有四条，第四条需要画图讲解，十分麻烦，在此略去，有兴趣者可以去看英文原文（见文末联结）。
１、一个物体从空间的一点运动到另一点，其实也就是从线段的一端到达另一端，那就意味着该物体必须通过空间中的无穷多的点，而在有限的时间内，物体不可能通过空间中无穷多的点。
２、飞毛腿（Achilles，希腊神话英雄，为冥神之子）和乌龟赛跑，却永远无法赶上乌龟。假定他的速度是乌龟的１００倍。乌龟先爬出一百米，当他跑到１００米时，乌龟又往前爬了一米。当他跑完一米时，乌龟又往前爬了一厘米，当他跑完一厘米时，乌龟又往前爬了１／１００厘米……。就这样，尽管二者距离越来越短，却是无限趋近于零而不等于零的无穷小量。Therefore，飞毛腿永远赶不上乌龟。
３、飞箭不动。一枝射出的箭，在任何一个给定时刻，总是占据了一个和它等长的空间，因此在该时刻是固定不动的，所以，它在所有的时刻都是静止的。无穷多的静止位置的集合不可能是运动。
二、如何理解芝诺悖论
芝诺悖论貌似战国时代公孙龙等人“白马非马”、“坚白石”之类的诡辩，但本质完全不同，不但有严格的数学论证（咱们的老祖宗连世上有论证这档子事都不知道，从来是 “论而不证”），而且指出了逻辑思考的“天尽头”，也就是人类理性思维的固有局限。公元前５世纪的古人就有这种洞察力，当真是让人咋舌。
这些悖论的实质精神是：有限的整体，不可能由无限数量的部份组成，而这正是假定“整体由部份组成”必然面临的逻辑困境。如果承认整体由部份组成，则它只可能有两种组成方式：或者由不可分的单元组成，或者无限可分。如果是前者，则那单元本身必然具有一定数量，倘如此，则我们立刻面对着明显的逻辑矛盾：世上哪有什么数量是不可分的？但如果整体无限可分，则我们又面临另一矛盾：无限数量的成份加起来，竟然会等于一个有限的总量！
这问题其实具有普遍意义，不但适用于直线那种一维结构，同样适用于面、体等**结构 ── 您总不会认为一个香蕉是由无限多的部份组成的吧？但您若不承认这点，立刻就会创造出个“不可切割的香蕉单元”出来，那同样不可思议。
悖论本身还质疑了数学和物理上的最基本观念：“连续性”。那“飞箭不动”就是如此。这里换用子弹出膛更说明问题：假设击发为时间零点，您说在该时点，那子弹究竟是静止的，还是运动的？如果算不动，那从哪个时点算起来，它才是运动的？您永远也找不到一个可以分开“运动”和“静止”的时点来。“运动”和“静止”似乎是两回事，可在实际中却无法分开！
三、康德、休谟和黑格尔的解答
芝诺的悖论就像斯芬克思的千古之谜，对后世的天才们构成了严峻的智力挑战，好几个大哲学家都尝试解决这些难题。
康德认为，这些矛盾其实是人类时空观念中固有的，因此，无论时间还是空间其实都不是真实的。时间和空间并非事物的属性，而是我们感知事物方式的属性。它们不过是我们感知的形式而已，是我们的头脑把时间和空间强加给了客观世界，而不是客观世界把时间和空间强加给咱们的大脑。
从芝诺悖论中，康德看到了对“无穷”的理解超出了人类的理性能力。只要我们试图去思考这一问题，无论是“无穷大”还是“无穷小”，都会遇上不可调和的逻辑矛盾。
另一大哲学家休谟则否认时间和空间的无限可分性，他认为两者都是由有限的不可分的单元组成的，犹如魔方由２７块木块组成一般。但上文已经说过：那单元本身必有一定数量，而这种本身既具有一定数量、却又是不可分割的单元是无从想像的。
黑格尔乃是马克思的鼻祖，他自然只会用辩证法给出答案来。他认为，芝诺的悖论其实反映了理性本质上的矛盾性。一切思想和推理，都含有内在的矛盾，矛盾的两方面首先是互相否定的，但在更高层次上却得到统一。
例如该悖论指出的“无限可分性的矛盾”，其实可在人们对“数量”的更高层次的认识中得到统一。人们对“数量”的认识含有两个因素，也就是“单一”和“多个”。“数量”指的就是由多个组成的一个，或一个中的多个。当我们考虑任何一定数量的事物时，例如一堆麦子，那首先指的是“一”，也就是整体。其次，那也是指“多个”。因为它是由许多部份组成的。作为“一”，它是连续的；作为“多个”，它们是间断的。对数量的真正认识，既不是脱离了“多个”的“一”，也不是脱离了“一”的“多个”，而是两者的“合成”（synthesis），也就是“一”包括了的“多个”。
类似地，当我们考虑一条线段时，首先只会想到它是一个整体。此时，它就是连续的、不可分的单元。接下来我们就会把它当成“多个”来考虑，此时它就分解为多个组成部份，每个部份又可以看成是一个整体，因此是不可分的单元，但接下来我们又把该单元看成是多个，于是它又分解为多个组分……这过程可以无限重复下去，而正是这种认识论导致芝诺悖论产生。
但这种认识论是错误的，因为它使用了错误抽象，也就是先把“多个”看成是和“一”有本质区别的东西，接着又把“一”看成和“多个”有本质区别。如果坚持认定线段只是“一”，不是“多个”，必然导致“不可分单元”说；反过来，如果把线段只看成是“多个”，则必然导致“无穷可分说”。但真实情况是它既不只是“一”也不只是“多个”，而是“包含多个的一”，也就是说，它是一个“量”（quantity）。矛盾的两方面在某个意义上都是真实的，因为两者都是真实的因素之一，但也同时是假的，因为它们只各自代表了一部份真实。
四、现代解答
下面这段文字是我从原文中直译的，因为是票友，翻译得非常蹩脚，诸位凑合著看吧。
康德、休谟和黑格尔的解答对其后的思想家们具有很大的启发与刺激作用，但最终并未被接受。对应该怎样修正传统观念才能逃出芝诺发现的矛盾，数学家、物理学家和哲学家们现已达成共识。时间、空间和运动的概念，乃至直线、数、测量和集合的数学概念，都得作根本上的修正。
芝诺所使用的整数必须以现代的实数概念来代替。新的“一维连续”概念不再是芝诺想像中的那个，而是按其自然序列（递减）排列的实数的标准模型。这新的直线概念，便是如今科学家们用以考虑空间和时段的基础。直线不再如芝诺假设的那样，是点的集合，而是不可计量的无穷多的点单元的集合。只有这样才能理解为何由零维组成的点可以构成**结构诸如一维的直线和二维的平面，否则便要遇到为芝诺指出的那个无限多的零加起来还是零的矛盾。此外，点在直线上排列得非常紧密，没有哪两个点可以紧挨在一起。在两个点之间总有第三个、第四个、第五个……点。点的无穷性也远比芝诺想像的高。实数的不可计量的无限性（因而是空间点和时点的不可数的无限性）也比整数的可计量的无限性高得多。因此，无限多的数加在一起可以得出有限的总数来。
在作出这些修正之后，数学家和科学家们现在可以说，芝诺的全部论点都建筑在错误假设上的。在现代数学和科学中，再也不可能出现芝诺那样的悖论。飞毛腿能赶上乌龟，飞箭确实在运动，也可以在有限的时间内通过空间中无限多的位置，这一切都没有矛盾。
解决芝诺悖论的功劳不能算在某一个人的头上。从牛顿、莱布尼兹建立微积分，直到２０世纪初叶Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Cantor, Einstein, and Lebesque的数学研究，都为此作出了实质贡献。从哲学上来说，唯一最伟大的贡献是，以靠创造逻辑上自洽的数学概念来推动定量科学的发展，取代了对人类自由想象力的依赖。
五、郁郁乎文哉，吾从康
前节介绍的当代科学家们的解答，老芦读来觉得不是那么信服，特别是“在现代数学和科学中，再也不可能出现芝诺那样的悖论”的革命乐观主义精神，以及“以靠创造逻辑上自洽的数学概念来推动定量科学的发展，取代了对人类自由想象力的依赖”的唯物主义精神，似乎有点过于武断。
芝诺悖论我是在高中时代看到的，此后断断续续地想了几十年。有的悖论倒容易发现破绽，例如那“龟兔赛跑”就是这样。从微积分上看那似乎确实不错，但仔细一想破绽就出来了：
“假定他的速度是乌龟的１００倍。乌龟先爬出一百米，当他跑到１００米时，乌龟又往前爬了一米。当他跑完一米时，乌龟又往前爬了一厘米，当他跑完一厘米时，乌龟又往前爬了１／１００厘米……。就这样，尽管二者距离越来越短，却是无限趋近于零而不等于零的无穷小量。Therefore，飞毛腿永远赶不上乌龟。”
这里隐含的前提，其实是把时间的度量缩得越来越小，飞毛腿先是花一定时间（假定是１０分钟吧）跑完１００米，此后却花了１／１０分钟去跑那１米，接着又花１／１０００分钟去跑那１厘米，接着又花１／１０００００分钟去跑那１／１００厘米……因此，他花的时间其实是个无穷收敛的变量，以１０分钟为极限值，其总和也就大致等于１０分钟，换言之，在飞毛腿快要追上乌龟时，时间却突然停滞下来了，这样当然永远追不上乌龟。这根本就不符合实际。这点我倒是在上高三时就想明白了。
难的还是那“无穷多的部份不可能组成有限的整体”和“飞箭不动”的悖论。我想来想去，觉得还是康德说的有道理。
所谓时间和空间，确实是人的主观感觉，根本说不上是什么物质世界的客观属性。例如“同时性”这个观念，完全就是我们的本能感觉。但爱因斯坦证明了，时间其实是相对的。所谓“同时性”只适用于同一系统。在不同运动系统中，时间的流逝速度根本就不一样。因此，我在国外过了一分钟，国内也同样过了一分钟，但在某个星球上看起来，那可能就是一小时。
最成问题的还是这“连续性”概念。例如上文说的那香蕉吧，表面是连续的，其实根本就不连续。不但分子之间有空间，分子之内也有空间，原子也是这样。因此，休谟说的其实很有道理：香蕉就是由数量有限的基本单元组成的。不但组成香蕉的分子量有限，原子量有限，就连基本粒子数量也肯定有限。最后我们可能碰到一个具有量级、但再也无法分割的粒子。这完全是可能的，虽然从数学上看来难以思议。
我想，这就是芝诺悖论的哲学意义：他是历史上指出理性的局限的第一人。所有的问题，其实都是用数学方式来思考宇宙引出来的。但数学不是自然科学，只不过是人类内在的理性思维能力的自由发挥而已。
凡是学过中学数学的同志都该知道，数学模型其实根本不存在于自然界中。例如几何的基本概念“点、线、面”都是所谓“理想模型”，“点”没有长度，“线”没有宽度，“面”没有厚度。如此模型，根本不存在于自然界之中，完全是数学家们自由想像出来的brain-child。但要进行数学研究，就非得使用这些纯粹的brain-child不可。点一旦有了长度，线一旦有了宽度，面一旦有了体积，则立刻就变成了具体的点、线、面，再不是抽象概念，再不能代表全世界的点、线、面了。
因此，数学思维的过程就是一个抽象过程，而这抽象的结果，必然是偏离客观真实，造出一堆客观世界没有的模型来，当人们反过来去用这些失真的模型去处理客观事物时，必然就要遇到芝诺悖论那样的困境，出现了“没有长度的‘点’却可以组成具有长度的‘线’”的悖论。这困境是人类的思维内在的缺陷，在我看来根本就无法解决。
康德有名言曰：“理性为自然立法”，说的就是这个道理。虚数的“发现”最能说明这一点。它的“发现”其实不过反映了人类要把某种运算进行到底的骡子脾气而已。在物理学中，它完全只是一种借用来的方便工具。
当然，面临困境，数学家和科学家们作了一代又一代的努力。例如上节译文就强调了“实数”，但我看那并不能解决什么问题，反倒制造出新的问题来。
所谓“实数”，大家都知道那就是“有理数”和“无理数”的集合。但什么是无理数，似乎根本就没个正面定义，只有“排除定义”，也就是“凡是不可用分数表达的数就是无理数”，也就是“数轴上凡是不是有理数的点都是无理数”，两者加在一起，就覆盖了整个数轴，可谓“算无遗策”。问题是，怎么确定和怎么计算无理数，似乎就没有个统一规律可循，与其说它的存在是表现了人类智力成就，莫如说反映了人类智力的局限。
再如“飞箭不动”的问题，那其实是对“瞬时速度”概念的质疑：在某个特定时点（也就是空间位点）上，飞箭不可能有什么“速度”，因为既然是速度，必须通过一段距离才谈得上。但上文已说过，“点”是没有长度的，哪还能谈什么距离和速度？
牛顿的解决办法，是把“点”的概念偷换为一个“无穷小”的长度，这无穷小长度再除以飞箭的飞越时间，便得出一个变量，其极限值便是该点的即时速度。这办法确实聪明之极，但在我看来，这并没有解决悖论。它只告诉你怎么取巧，去算出物体在某个空间位点的速度来，却回避了“没有距离就没有速度可言”的根本难题。
上举那个子弹出膛的例子就能说明这一点。即使用微积分，也无法从时间上准确区分物体从静止变为运动的“转折点”，就像在数轴上找不到一个绝对值最小的数一样。于是，我们便连区分“静止”和“运动”、“零”和“大于零”的界限都找不到。静止和运动这两种截然不同的状态，竟然会是一个连续的平滑的数学过程，而“无”和“有”之间也没有什么分界线。这实在是无法自圆其说。
最能说明问题的，还是高等数学中的“开区间”概念。例如1＜X＜3，这变量X代表的线段就是所谓“开区间”，它的特点是既有限又无限。说它有限，是其长度小于2 ；说它无限，是因为这线段根本没有终点，你永远也找不出它的最大值和最小值来。有趣的是，这个高等数学中的最基本概念，本身就是个悖论，然而就在这悖论上建立了高等数学的大厦！
据说芝诺的学生曾问他：老师，你知识如此渊博，怎么还老觉得自己很无知呢？芝诺在沙盘上画了一大一小两个圆圈，然后跟学生说，小圆内就是你们的知识，大圆内是我的知识，圆外的空间就是未知世界。因为我的圆比你们的大，周长就比你们的大，因此接触到的未知就更多。
在我看来，这就是人类的科学史和思想史。比起两千年前的古人来，咱们的圆圈大到不可比拟，但接触到的未知因而更多。而且，不管这圆圈变得多大，它将永远是一个冲不出去的围城。
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