征集答案：一道看似简单的数学题

[QIFENG0824]

两个信封，内各有一张纸，各写着一个正整数，只知道一个信封内的数字是另一个信封内的数字的一倍。你随手拿了一个信封打开，发现数字是100（代表你能得到100元），这时给你一个机会放弃这100元选择另一个信封里的金额，你会怎么做？

 

[The pacific]

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相当于用50元赌多拿100元，50%的机会，拼了，赌一把。

 

[QIFENG0824]

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相当于用50元赌多拿100元，50%的机会，拼了，赌一把。

那我在赌一把之前，是否并无必要知道手上的信封里是100元啊？管它是几元，都是赌一把合算吧？

 

[sabre]

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换, (200+50)/2 = 125,
不换, 100 = 100,

我猜, 这个问题更是心理问题,

 

[QIFENG0824]

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换, (200+50)/2 = 125,
不换, 100 = 100,

我猜, 这个问题更是心理问题,

不讨论心理因素，是个数学问题，125比100好（尽管会冒着少拿50的风险），所以你也不能说100是我的幸运数，我就是喜欢100

 

[bestsideofvan]

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换信封是个行为,这个行为的期望收益是125-100=25元,期望收益率是25%,这是换一次的结果,那么N次以后,这个收益率会很快收缩,所以,换信封不会持续下去,那么这个题目就转换成:你愿意接受一个期望收益率25%的投资吗?可以这样理解吗?

 

[QIFENG0824]

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假设这个游戏就玩一次
问题是：如果我第一个信封拿到后，都不用打开看直接换就可以了，那我何必换呢，直接拿第二个不就行了？可拿了第二个又有这个问题了，我是不是又要换回成第一个呢？

 

[漫步云中@桥]

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拿到100就是100，实在的

 

[bestsideofvan]

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假设这个游戏就玩一次
问题是：如果我第一个信封拿到后，都不用打开看直接换就可以了，那我何必换呢，直接拿第二个不就行了？可拿了第二个又有这个问题了，我是不是又要换回成第一个呢？

一直认为,要学好概率论,非天才不可,至少也要疑似天才吧,所以,这次,俺还是依旧躲一躲吧.

 

[hyclone]

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没有区别，都是50%的机率。
在你不知道各有多少钱的情况下，打不打开第一个信封不影响第二个信封的几率，因为没有任何东西改变。
用文字表述这其实就是：“犹豫不决”。

 

[QIFENG0824]

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没有区别，都是50%的机率。
在你不知道各有多少钱的情况下，打不打开第一个信封不影响第二个信封的几率，因为没有任何东西改变。
用文字表述这其实就是：“犹豫不决”。

回到原题，你认为第二个信封中200元和50元的概率是否均为50%？
或者说，第二个信封中2A元和A/2元的概率是否均为50%？(A为第一个信封中的钱数）
从这个角度看，不管手上拿到的钱是多少，都是换合算呀

 

[sabre]

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假设这个游戏就玩一次
问题是：如果我第一个信封拿到后，都不用打开看直接换就可以了，那我何必换呢，直接拿第二个不就行了？可拿了第二个又有这个问题了，我是不是又要换回成第一个呢？

看来, 还是不换,

 

[sabre]

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回到原题，你认为第二个信封中200元和50元的概率是否均为50%？

这么说不是,

 

[QIFENG0824]

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这么说不是,

为什么呢？

 

[hyclone]

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a simple simulation can show some interesting thing:

- 用“大”和“小”表示，做10000次实验，重复10次：

换的概率都接近50%：
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
bit 0.4959 0.4932 0.4954 0.5011 0.5084 0.5037 0.5018 0.5041 0.5026 0.4978
ton 0.5041 0.5068 0.5046 0.4989 0.4916 0.4963 0.4982 0.4959 0.4974 0.5022

不换的概率也是这样：
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
bit 0.5041 0.5068 0.5046 0.4989 0.4916 0.4963 0.4982 0.4959 0.4974 0.5022
ton 0.4959 0.4932 0.4954 0.5011 0.5084 0.5037 0.5018 0.5041 0.5026 0.4978

 

[中国好声音]

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换，无论现在这个信封是多少，都选择下一个。

 

[hyclone]

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即使把题目改成三个信封也是一样：

换：
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
bit 0.366 0.354 0.310 0.343 0.334 0.337 0.342 0.363 0.324 0.339
mid 0.302 0.313 0.356 0.326 0.326 0.352 0.340 0.318 0.342 0.322
ton 0.332 0.333 0.334 0.331 0.340 0.311 0.318 0.319 0.334 0.339

不换：
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
bit 0.322 0.323 0.346 0.323 0.347 0.318 0.337 0.327 0.323 0.352
mid 0.351 0.316 0.338 0.347 0.331 0.328 0.345 0.333 0.336 0.341
ton 0.327 0.361 0.316 0.330 0.322 0.354 0.318 0.340 0.341 0.307

 

[sabre]

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为什么呢？

我回答不出来,
但是因为你问了这个问题, 我只能回到原始状态考虑,
一开始, 拿大拿小的机会是50%, 50%,
越换越大肯定是不可能的, 所以, 200 和 50 不是平等的,

 

[hyclone]

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这道题目与昨天我们讨论的三个门与一辆车的题目完全不同。
那道题中各种条件随时间改变，概率也随之发生复杂变化。

用电脑模拟一下可以证实我们的结论：

换：
A B C
0.1628 0.1691 0.6681

不换：
A B C
0.3317 0.3364 0.3319

（抱歉，今天的电脑不支持表格环境）
- 有兴趣的童鞋可以验证一下，我用的 seed=123，10000次实验，没有重复。

 

[mogusaen]

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好像是个挺著名的难题，Wiki上说至今没有被广泛认可的答案。

Two envelopes problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem